Bestimmung der Variablen bei einer nicht quadratischen Matrix mittels Gauss-Verfahren
Einleitung
Das Gauss-Verfahren, auch als Gauß-Eliminationsverfahren bekannt, ist eine grundlegende Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Während es in der Regel auf quadratische Matrizen angewendet wird, kann es auch für nicht quadratische Matrizen verwendet werden. In diesem Artikel werden wir die Vorgehensweise zur Bestimmung der Variablen bei einer nicht quadratischen Matrix erläutern, und zwar durch die Anwendung des Gauss-Verfahrens.
Das Gauss-Verfahren im Überblick
Das Ziel des Gauss-Verfahrens ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem in eine obere Dreiecksform zu überführen. Dies ermöglicht es uns, die Variablen schrittweise zu isolieren und ihre Werte zu bestimmen. Bei nicht quadratischen Matrizen gibt es jedoch einige zusätzliche Überlegungen, die wir berücksichtigen müssen.
Beispiel einer nicht quadratischen Matrix
Betrachten wir das folgende Beispiel eines linearen Gleichungssystems, das durch eine nicht quadratische Matrix dargestellt wird:
2x + 3y + z = 1 4x + y + 2z = 2 3x + 2y = 3
Hier haben wir drei Gleichungen mit nur zwei Variablen (x, y, z). Die Matrix, die dieses System repräsentiert, sieht folgendermaßen aus:
| 2 3 1 | 1 | | 4 1 2 | 2 | | 3 2 0 | 3 |
Schritte zur Anwendung des Gauss-Verfahrens
Um das Gauss-Verfahren anzuwenden, folgen wir diesen Schritten:
1. Erstellen der erweiterten Matrix
Wir beginnen mit der erweiterten Matrix, die sowohl die Koeffizienten der Variablen als auch die konstanten Terme enthält. Im Beispiel sieht die erweiterte Matrix wie folgt aus:
| 2 3 1 | 1 | | 4 1 2 | 2 | | 3 2 0 | 3 |
2. Zeilenoperationen durchführen
Wir verwenden Zeilenoperationen, um die Matrix in obere Dreiecksform zu bringen. Zuerst eliminieren wir die x-Variablen in den unteren Zeilen. Dies geschieht durch die Subtraktion geeigneter Vielfacher der ersten Zeile von den nachfolgenden Zeilen:
| 2 3 1 | 1 | | 0 -5 -2 | 0 | | 0 -1.5 -1.5 | 1.5 |
Jetzt haben wir die Matrix in eine Form gebracht, die die Lösung erleichtert.
3. Rücksubstitution
Nach der Umformung der Matrix führen wir die Rücksubstitution durch. Beginnen wir mit der letzten Gleichung:
-1.5z = 1.5 → z = -1
Setzen wir z in die zweite Gleichung ein:
-5y - 2(-1) = 0 → -5y + 2 = 0 → y = 0.4
Schließlich setzen wir y und z in die erste Gleichung ein:
2x + 3(0.4) + (-1) = 1 → 2x + 1.2 - 1 = 1 → 2x = 0.8 → x = 0.4
Fazit
Das Gauss-Verfahren kann erfolgreich auf nicht quadratische Matrizen angewendet werden, um die Variablen zu bestimmen. Es ist wichtig, die richtigen Zeilenoperationen durchzuführen und die Rücksubstitution sorgfältig anzuwenden. In unserem Beispiel haben wir die Variablen x, y und z gefunden, was zeigt, dass auch nicht quadratische Systeme lösbar sind, sofern genügend Gleichungen vorhanden sind, um die Variablen zu bestimmen.